METODE KUALITATIF PENGAMBILAN KEPUTUSAN

PROGRAMASI LINIER

1. Pengertian
   

   Programasi linier merupakan metode untuk pengambilan keputusan dalam persoalan perekonomian dengan menggunakan persamaan/pertidaksamaan linier. Fungsi dari metode ini adalah untuk mengoptimalkan tujuan dengan sumber-sumber yang terbatas.
   

   
    

2. Tahapan
   
   1. Menentukan fungsi tujuan dalam bentuk persamaan linier.
      
   2. Menentukan semua fungsi kendala dalam bentuk pertidaksamaan/persamaan.
      
   3. Menggambarkan grafik yang menunjukkan semua fungsi kendala dalam sistem koordinat.
      
   4. Menentukan area yang layak (feasible area).
      
   5. Menentukan titik koordinat dalam feasible area yang mengoptimalkan fungsi tujuan.
      

 

 

Contoh soal

Perusahaan roti akan memproduksi 2 jenis roti, yaitu x dan y. Untuk memproduksi 1 unit x dibutuhkan 2 unit bahan I dan 5 unit bahan II. Untuk memproduksi 1 unit y dibutuhkan 3 unit bahan I dan 3 unit bahan II. Bahan I tersedia 210 unit dan bahan II tersedia 300 unit. Laba dari penjualan x sebesar 100/unit dan laba dari penjualan y sebesar 200/unit. Dari kondisi di atas

1. gambarkan kurva yang menunjukkan feasible area,
   
2. tentukan jumlah x dan y yang harus diproduksi agar menghasilkan laba maksimum,
   
3. tentukan laba maksimumnya!
   

Jawaban

Fungsi tujuan:     Z = 100x + 200y

Fungsi kendala:    I.      2x + 3y ≤ 210

                    II.     5x + 3y ≤ 300

Persamaan fungsi kendala menjadi

                    I.      2x + 3y = 210

                    II.     5x + 3y = 300

a. Tahap Penggambaran Kurva

Perpotongan antara garis kendala I dan II

II.     5x + 3y = 300

I.      2x + 3y = 210 _

     3x = 90

     x         = 30

I.      2x + 3y = 210

     2(30) + 3y = 210

     60 + 3y = 210

             3y = 210 – 60

             y = 50

Jadi titik koordinatnya (30, 50)

Perpotongan garis kendala I dgn sumbu x (y=0)

I.      2x + 3y = 210

         2x = 210

     x = 105

Jadi titik koordinatnya (105, 0)

 

Perpotongan garis kendala I dgn sumbu y (x=0)

I.      2x + 3y = 210

         3y = 210

     y = 70

Jadi titik koordinatnya (0, 70)

Perpotongan garis kendala II dgn sumbu x (y=0)

II.     5x + 3y = 300

     5x = 300

     x = 60

Jadi titik koordinatnya (60, 0)

 

Perpotongan garis kendala II dgn sumbu y (x=0)

II.     5x + 3y = 300

     3y = 300

     y = 100

Jadi titik koordinatnya (0, 100)

y

100

 

A(0, 70)

70

B(30, 50)

50

 

 

 

 

C(60, 0)

0 30 60 105 x

b.    Jumlah x dan y yang harus diproduksi agar menghasilkan laba maksimum

    Z_A = 100(0) + 200(70) = 14000

    Z_B = 100(30) + 200(50) = 13000

    Z_C = 100(60) + 200(0) = 6000

    Jadi x = 0 dan y = 70 (titik A)

c.     Laba maksimumnya = 14000

    

Soal

Diketahui data sebagai berikut

Proses Produksi	Kebutuhan bahan/unit produk		Persediaan bahan
	x	y
I	5	3	300
II	0	2	120
III	4	5	400
Laba	500	1000

 

a. Gambarkan kurva yang menunjukkan feasible area!

b.    Tentukan x dan y yang harus diproduksi agar menghasilkan laba maksimum!

c.    Tentukan laba maksimumnya!

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Titik Ekstrim
   

   Fungsi Tujuan Z = 5x + 2y
   

   Fungsi Kendala
   

   1. 4x + 2y <= 20
      
   2. 6x + 6x <= 36
      
   3. 2x + 4y <= 20
      

   Dengan menambah variabel slack menjadi
   

   1. 4x + 2y + s1 = 20
      
   2. 6x + 6x + s2 = 36
      
   3. 2x + 4y + s3 = 20
      

   
    

   1. Pada x = y = 0
      

      4(0) + 2(0) + s1 = 20 à s1 = 20
      

      6(0) + 6(0) + s2 = 36 à s2 = 36
      

      2(0) + 4(0) + s3 = 20 à s3 = 20
      

      Jadi Z = 3x + 2y = 3(0) + 2(0) = 0
      

      
       

   2. Pada x = s1 = 0
      

      4(0) + 2y + 0 = 20 à y = 10
      

      6(0) + 6(10) + s2 = 36 à s2 = 36 – 6(10) = -24
      

      2(0) + 4(10) + s3 = 20 à s3 = 20 – 4(10) = -20
      

      
       

   3. Pada x = s2 = 0
      

      6(0) + 6y + 0 = 36 à y = 6
      

      4(0) + 2(6) + s1 = 20 à s1 = 20 – 2(6) = 8
      

      2(0) + 4(6) + s3 = 20 à s3 = 20 – 4(6) = -4
      

      
       

   4. Pada x = s3 = 0
      

      2(0) + 4y + 0 = 20 à y = 5
      

      4(0) + 2(5) + s1 = 20 à s1 = 20 – 2(5) = 10
      

      6(0) + 6(5) + s2 = 36 à s2 = 36 – 6(5) = 6
      

      Jadi Z = 3x + 2y = 3(0) + 2(5) = 10
      

      
       

   5. Pada y = s1 = 0
      

      4x + 2(0) + 0 = 20 à x = 5
      

      6(5) + 6(0) + s2 = 36 à s2 = 36 – 6(5) = 6
      

      2(5) + 4(0) + s3 = 20 à s3 = 20 – 2(5) = 10
      

      Jadi Z = 3x + 2y = 3(5) + 2(0) = 15
      

      
       

   6. Pada y = s2 = 0
      

      6x + 6(0) + 0 = 36 à x = 6
      

      4(6) + 2(0) + s1 = 20 à s1 = 20 – 4(6) = -4
      

      2(6) + 4(0) + s3 = 20 à s3 = 20 – 2(6) = 8
      

      
       

      
       

   7. Pada y = s3 = 0
      

      2x + 4(0) + 0 = 20 à x = 10
      

      4(10) + 2(0) + s1 = 20 à s1 = 20 – 4(10) = -20
      

      6(10) + 6(0) + s2 = 36 à s2 = 36 – 6(10) = -24
      

      
       

   8. Pada s1 = s2 = 0
      

      4x + 2y + 0 = 20 à 12x + 6y = 60
      

      6x + 6y + 0 = 36 à 6x + 6y = 36
      

      6x = 24
      

      x = 4
      

      4(4) + 2y + 0 = 20 à 2y = 20 – 4(4)
      

      y = 2
      

      2(4) + 4(2) + s3 = 20 à s3 = 20 – 2(4) – 4(2) = 4
      

      Jadi Z = 3x + 2y = 3(4) + 2(2) = 16
      

      
       

   9. Pada s1 = s3 = 0
      

      4x + 2y + 0 = 20 à 8x + 4y = 40
      

      2x + 4y + 0 = 20 à
      2x + 4y = 20
      

      6x = 20
      

      x = 3,33
      

      2(3,33) + 4y + 0 = 20 à 4y = 20 – 2(3,33)
      

      y = 3,33
      

      6(3,33) + 6(3,33) + s2= 36 à s2= 36 – 6(3,33) – 6(3,33)= -4
      

      1. Pada s2 = s3 = 0
         

         2x + 4y + 0 = 20 à 6x + 12y = 60
         

         6x + 6y + 0 = 36 à
         6x + 6y = 36
         

         6y = 24
         

         y = 4
         

         2x + 4(4) + 0 = 20 à 2x = 20 – 4(4)
         

         x = 2
         

         4(2) + 2(4) + s1 = 20 à s1 = 20 – 4(2) – 2(4) = 4
         

         Jadi Z = 3x + 2y = 3(2) + 2(4) = 14
         

   
    

2. 
   
3.